Výpočty a poznámky

1) Frekvence kmitů počátečních UVE kvant energie 
 Frekvenci nejenergetičtějších kvant vypočteme z minimální měřitelné délky dané Poissonovou konstantou
 l=10-35 metru  podle vzorce frekvence   f = c/l         
 f= 2,98*108 /10-35 = 2,98*1043 Hz
 
2) Energie energetických kvant vznikajícího vesmíru
 Energie kvant je přímo úměrná frekvenci jejich vlnění dle vztahu   E = h * f ,
 kde je  E . .energie, h . .Planckova konstanta 6,626 x 10-34 J (4,14 x 10-15 eVs), f . .frekvence vlnění  
  E =  6,626 x 10-34  * 2,98*1043 = 1,975*1010 Joule
  E =  4,14 x 10-15  * 2,98*1043 =   1,233*1029  eV
           
 
3) Obsah celkové energie ve vesmíru
120 miliard galaxií,  300 miliard sluncí v galaxii (průměrně)
Váha slunce 1,993 x1030 kg (zaokrouhleno na  2 x 1030 ) 
Váha slunečních soustav ( 2 % celého vesmíru)  = 2 x 1030 x 1,2x1011 x 3x1011= 7,2 x 1052 kg  
Váha hmotné části vesmíru ( 4 % celého vesmíru)  = 14,4 x 1052 kg  
Váha celého vesmíru při maximálním rozpětí  = 3,6 x 1054 kg  
E = mc2
E = 25 x 3,6 x 1054 x (3 x 108 )2 = 8,1 x 1073 J
E =1,5 x 1019 x 8,1 x 1073 = 1,21 x 1093  eV
 
 
4) Výpočty parametrů otáčení vesmíru
Maximální počet otoček vesmíru od jeho vzniku je dán podílem počtu kvantových jednotek času a obvodu kružnice, 
který za ten čas mohou fotony urazit.
Umax = kvantové jednotky do současné doby*10/6,28 = 60,7*10/ 6,28
Umax = 96 otáček
Vesmír se od doby vzniku mohl otočit nanejvýš 96-krát. U hmotných částic je nutno počítat vzhledem k jejich nižší rychlosti s přibližně 2/3 této hodnoty.
 
Úhlová rychlost otáčení je podíl dráhy fotonu a  současného poloměru vesmíru za časovou jednotku 1 rok převedený do kruhové stupnice 360 stupňů.
U“= 360 / 13 700 000 000 x 6,28 = 36 / 860 000 000 
U“= 4,2 x 10-8
V současné době se vesmír otáčí úhlovou rychlostí  maximálně 4,2 x 10-8 stupně za rok.
 
 
5 ) Maximální doba rozpínání vesmíru (počítaná ze vzorečku pro dobu výstupu v gravitačním poli)
T = c/G     kde  c  rychlost světla  a  G  vesmírná gravitační konstanta
T = 2,998*108/6,67*10-11sec. 
T =  4,496*1018 sec. =  143 miliard roků         
 
 
6) Výpočet stáří vesmíru z Hubbleovy konstanty
 Stáří vesmíru lze počítat jako podíl 1 a charakteristické doby expanze H (rovnoměrné)
  H = 50 km s-1 Mpc-1    přičemž 1 Mpc =  3,08 * 1019  km
  H = 50/ 3,08 * 1019 = 16,2 * 10-19  
   t = 1/H  = 1/(16,2 * 10-19)
   t =  6,17 * 1017 sekund  =  19,55 miliardy roků
 
 

7) Maximální poloměr rozpínání vesmíru

Vycházíme ze vzorce   MsGshs = ½ Mbcb2  , kde vlevo jsou hodnoty současné a vpravo budoucí

Hodnoty budoucích veličin do konce rozpínání vesmíru přibližně desetkrát vzrostou.

Vzorec pro výpočet výšky výstupu (maximálního poloměru vesmíru) pak bude vypadat takto

  h = Mbcb2 /2*MsGs = 1000*cb2/2*Gs

¨ h = 1000*(2,998*108)2/2*6,67*10-11 = 8,99 *1019 /13,34 * 10-11

  h = 6,74 * 1029 m = 71,2 * 109 světelných roků

 

8) Výpočet množství galaxií ve vesmíru při jejich rovnoměrném rozložení
Předpoklady :
- rovnoměrné rozložení galaxií, vzdálenost galaxií 3 miliony světelných roků
- poloměr hmotné části vesmíru  a) 8 miliard sv.roků, b) 13,75 miliard sv.roků.
 

Výpočet :

Celkový objem hmotné části vesmíru /sv.roky/ vypočteme ze vzorce  V = 4/3*3,14* r3
   V =  4/3*3,14 *(7 * 109)3= 4,19* 512 * 1027= 2,14*1030
Prostor galaxie /sv.roky/
   Vg = 4/3*3,14 *(1,5*106)3 = 4,19*3,375*1018 = 14,1*1018
Počet galaxií ve vesmíru   Vv/Vg
   p =  1,52*1011= 152 miliard     
Poznámka :
 Výpočet je proveden pro kruhový vesmír. Ve skutečnosti galaxie i vesmír mají diskovité uspořádání.
 Proto lze říci, že výpočty jsou přibližné a mohou se lišit až o několik desítek %.

 

 

9) Výpočet hmotnosti elektronového neutrina

a) Z porovnání s elektronem 
     klidová hmotnost elektronu  5,11*105 eV/c2=  9,11 *10-31  kg

     klidová hmotnost neutrina   0,32  eV/c2= 5,71 *10-37  kg

b) Přepočet přes základní fyzikální jednotky

     zjištěná klidová hmotnost neutrina 0,32  eV/c2,  1 eV = 1,602 * 10-19 Joule

     přepočet energie na hmotnost podle vztahu m = E/c2

     m = 0,32 * 1,602 * 10-19 /(2,98 * 108)2 = 5,77 * 10-37 kg

 

 

10) Váha všech reliktních neutrin ve vesmíru

Předpoklady :

- velikost vesmíru 13,75 miliard sv.roků z toho hmotná část cca 8 miliard sv.roků

- světelný rok = 9,46 * 1015 m

- hustota reliktních neutrin ve hmotné části 340 /cm3 = 3,40 *108/m3

- hustota reliktních neutrin v neutrinové části vesmíru cca 3 400/cm3= 3,40 *109 /m3

- hmotnost neutrina 0,32 eV/cm2 =  5,71 *10-37  kg ve hmotné části vesmíru

- hmotnost neutrina cca 1,0 eV/cm2 =  1,78 *10-36  kg v neutrinové a fotonové části vesmíru

 (Pozn.: Včetně potenciální složky. Jsou v průměru 3x dále od středu vesmíru než my.)

Výpočet :

- objem koule 1 sv.roku = 4/3*3,142*(9,46*1015)3= 3,55 * 1048 m3

- objem hmotné části vesmíru  = (8*109)3* 3,55 * 1048 = 1,82 * 1078 m3
Vm... počet reliktních neutrin ve hmotné části vesmíru = 3,40 * 108 * 1,82 *1078
Vm = 6,19 * 1086
Mm...hmotnost reliktních neutrin ve hmotné části vesmíru = 6,19 * 1086 * 5,71 * 10-37
 Mm = 3,53 *1050 kg

- objem nehmotné části vesmíru  = (13,753 - 83) * 1027 * 3,55 * 1048 = 7,41 * 1078 m3

Vn... počet reliktních neutrin v nehmotné části vesmíru = 3,40 * 109 * 7,41 *1078
Vn = 2,52 * 1088
Mn... hmotnost reliktních neutrin v nehmotné části vesmíru = 2,52 * 1088 *1,78 * 10-36
Mn = 4,49 *1052 kg

V porovnání celková hmotnost Slunce = 2 * 1030 kg.
 

 

11) Výpočet váhy současných neutrin sluneční soustavy o rozměru 125 000 AU

Sluneční soustavu rozdělíme na pásy : 1.pás zahrnuje oblast kolem Země o průměru 2 AU

Další předpoklady :

sluneční soustava dosahuje do 125 000 AU, 1 AU = 1,496 * 1011 m

předpokládaná hmotnost neutrina = 0,32 eV/c2 = 5,71 * 10-37 kg

hustota slunečních neutrin v pásmu Země (2 AU) = 100 . 109/cm3 =   1 *1017 /m3

Výpočet :

V... objem oblasti 2 AU = 3,14 * 4/3* ( 2 * 1,496 *1011)3= 4,19 * 26,8 * 1033

V = 11,22 * 1034  m3
Množství neutrin v kulové oblasti 2 AU =  1 * 1017 * 11,08 *1034 =  1,11 *1052 
Množství neutrin v diskové sluneční soust. = 1/10 * 1,11 *1052 * 125/2 * 103 = 6,94 * 1055
Mn...celková hmotnost slunečních neutrin v disk. sluneční soust. = 6,94 * 1055* 5,71 * 10-37

Mn = 3,96 * 1019  kg

V porovnání celková hmotnost Slunce = 2 * 1030 kg. Za dobu trvání sluneční soustavy vzniklo o mnoho řádů více neutrin.

 

12) Výpočet gravitační hmotnosti neutrin sluneční soustavy vzniklých za 4 miliardy roků

předpoklady : v pásu 2 AU je hustota neutrin 60 miliard v cm3 tj  6*1016 v m3
                          1 AU = 1,496 * 1011m

                          1 sv.rok = 9,46 * 1015 m

                          gravitační hmotnost neutrina = 0,32 eV/c2  = 5,71 *10-37  kg

V... objem oblasti  2AU kolem slunce s hustotou neutrin přibližně jako na Zemi

V = 4/3 * 3,14 * (2*1,496 * 1011)3 = 4,19 * 26,78 * 1033
 V = 11,22 * 1034  m3
 počet neutrin v pásu 2 AU = 11,22 * 1034 * 6 *1016 = 6,73 * 1051 ks

M2... celková hmotnost slunečních neutrin v pásu 2 AU

M2 = 6,73 *1051 * 5,71 * 10-37= 3,84 * 1015 kg

M4 ... celková hmotnost slunečních neutrin v oblasti 4 mld roků (za dobu vyzařování slunce)

M4 = 4* 109 *9,46 * 1015 /(2*1,496*1011)* 3,84 * 1015= 4,86* 1029  kg

V porovnání celková hmotnost Slunce = 2 * 1030 kg.

 

 

13)  Výpočet objemů při smrštění slunce na černou díru

Kvark up má energii 2,4 MeV,  kvark charm energii 1,27 GeV a kvark top 171,2 GeV.

Kvark charm má  energii 529-krát větší a rozměry 529-krát menší než kvark up. Jeho objem je 1,48 *108 krát menší.

Kvark top má energii 71,33 * 103 krát větší a rozměry  71,33 * 103 krát menší než kvark up.  Jeho objem je 3,63 *1014 krát menší.

Objekt o velikosti 3 sluncí o poloměru 700 tisíc km se zhroutí do černé díry o hmotnosti přibližně jednoho slunce a poloměru 3 kilometry.

 Objem slunce Vs = 4/3 * 3,14 *(7 * 108 )3  = 1,44 * 1027 m3

 Objem černé díry o hmotnosti slunce Vč = 4/3 * 3,14 * 33 * 109 = 1,13 * 1011 m3

 Slunce svůj objem při přeměně na černou díru zmenší  1,27 * 1016 krát a kvark up se při přeměně na kvark top zmenší 3,63* 1014

 

14) Gravitační hustota počátečního vesmíru 1 sec. po vzniku

Hmotnost slunce Ms=1,9891*1030  kg se přibližně rovná hmotnosti malé černé díry o průměru 18 km a objemu 3 053,6 km3.

Hustota malé černé díry = 1,9891*1030/3053,6 = 6*1026 kg/km3.

Situace při stabilizaci atomů 1 sec po vzniku vesmíru :

Hmotnost galaxie = 300 miliard Ms , počet galaxií =100 miliard, poloměr vesmíru= 297 800 km

Objem hmotné části vesmíru = 4/3*3,1416*297800*297800*297800= 1,106*1014 km3

váha hmotné části vesmíru = 1,9891* 1030*3*1011*1*1011= 5,967*1052 kg

hustota hmotné části vesmíru= 5,967*1052/1,106*1014= 5,395*1038 kg/km3

Gravitační hustota vesmíru v konstantních jednotkách času, prostoru a všech sil by byla 1 sec. po vzniku o 12 řádů vyšší než gravitační hustota černé díry.